ブログ源さん家（原産地)

　先日『数の悪魔』(エンツェンスベルガー著)を読んでから、数学にハマッっている。
　正五角形の各辺と、各頂点を結ぶことによって出来る星型を調べると、外側の1辺の長さと、中の星型の一辺の長さが黄金比になるという。
　黄金比とは、1：1.618033989･･･という比で右側は無理数だが、（1+√5)/2で計算できるという。中に描いた星型は、相似形で小さいものを見えなくなるくらいどんどん書いていくことができる。
　そして黄金比が、この時、色々なところで辺の長さの比較で見られるという。またこれらの辺の値はフィボナッチ数(列)とも深い関係にあるという。

　この事を知って面白くなったので、ちょっと本当にそうなのか自分で調べてみたくなった。そこで五角形の左下の座標を(0,0)、右下の座標を(0,1)ととして、他の頂点の三点の座標及び、中にできる星型が作る5つの交点の座標を求めてみることにした。（最近時々自分でこういう課題を掲げ、暇な時間帯、頭の体操と暇潰しを兼ねて、算数の遊びをしています）

　数学から遠ざかって○十年以上だからといって、これ位の程度の問題なら簡単に解けると思って軽い気持ちで始めたが、やってみると計算能力が落ちたのと(ミスを連発)、三角関数の公式などを忘れたりしたので、結局答えを出すのに4時間近くもかかってしまった。
　お恥ずかしい　　<(＾＾;;

　五角形の頂点は、比較的早く計算できたが、中の星型が作る5個の交点の座標は、かなり苦労した。でも原因は、頭がボケてきて大半は計算ミスをしがちになったことであろう。

　解く際のヒントになるものは、非常に沢山ある。

1）至る所に、底辺の2角が(2π)/5と頂点の角がπ/5になる三角形が出てくる。つまり相似形が沢山ある。

2）また18°=Θと置くと、5Θ=90°より　SinΘ=CosΘとなり
　90°,2Θ,3Θの角度からなる三角形を考えるとSin2Θ=Cos3Θとなり
　三角関数の公式から
　　Sin2Θ=2SinΘCosΘ･････�@
　　Cos3Θ=4(CosΘの3乗)−3CosΘ･･････�A
　�@と�Aの右辺をイコールとして計算すると
　　SinΘ＝(√5-1)/4＝Sin18°＝Cos72°････�B
　さらにSin((π/2)-Θ）=CosΘより
　　CosΘ＝（√(10+2√5))/4＝Cos18°＝Sin72°･･･�C
　Cos2Θ=(CosΘ)の2乗−(SinΘ)の2乗より�B、�Cを代入したりして
　　Cos36°＝(1+√5)/4････�D
　　Sin36°＝(√(10-2√5))/4＝Cos54°････�E
　これら�B〜�Eを用いると色々活かせる。

3）もう一つ各辺の傾きや、Y軸、X軸との交点などtan(タンジェント)で表す直線の式を求め、その交点から計算する方法などもある。（例えばBのX座標のBx、Y座標をByと置いて、三角形の相同性などからBx、Byが入った代数比をつくり、そこからさらに方程式を作り簡単にBx、Byが求まる。このBxの絶対値とByの値からどんどん計算していく。

（参考）
　10個の点の座標を、tan(π/5)＝tと置いて、tで表すとすると比較的簡単にもとまる。
　ちなみにtanΘ＝(SinΘ)/(CosΘ)を利用して計算すると
　　ｔ=(√(10+2√5))/(1+√5）となる。
　ただしこのｔの値から、各座標の値を√などを用いた数字に戻そうとすると、かなり四苦八苦する。　
　実は私が最初にやった方法がこれだが、かなり頭が混乱した。実際の値を計算するなら、最初から三角関数で解いて、それに�B〜�Eの値を代入した方が早いと思う。
（参考内容はここまで）

　ここまで書いてしまったから5つの頂点の座標を書くと
　左下の頂点をAと置き、時計回りにB,C、D、Eとすると
　A(0,0)、
　B((1-√5)/4、(√(10+2√5))/4　）
　C(1/2、(√(10+2√5))/2(√5-1）)
　D((√5+3)/4、(√(10+2√5))/4 ）
　E(1,0）となる。
　多分間違えてはいないと思いますが････
　各点の距離を計算し、各辺の比率を比較するのは実のところこれだけで材料は揃っている。じっくりみれば上のヒント1）で挙げた三角形の相同性から導き出せる。

　私はこの後の作業、五角形の中にできる星型の交点の座標も、実際に求めて、ピタゴラスの定理から距離を求めて、計算上実際に確かめた(答えが正しいかどうかは、逆に２辺の2点間の距離の比が黄金比になるかどうかで確かめた)。

　しかしこれが曲者であったのだ。計算により求めた星型を形作る際できる5個の交点の座標は、無理すればここに書けないこともない。しかし先に書いた5個の頂点よりさらに複雑なものが幾つかあるので、ここではもうこれ以上書かない。全部結果を知るのではなく、知りたい方は私のヒントなどを参考に計算してみてください。

　まあ文化の日の前の、暇な一日、店番をしながらこういうことをやって過ごしてしまった。でも歳をとってからこういう計算するのは、頭の体操になってボケ防止にいいそうですよ。皆さんも自分で何か問題を考えて頭の体操をしてみてはいかが。